BOSE-EINSTEIN-KONDENSATION

Während für Fermionen das chemische Potential keiner Beschränkung unterliegt, muß es für ein ideales Bose-Gas immer kleiner oder gleich dem niedrigsten vorkommenden Einteilchenenergieniveau sein (also Null, bei entsprechender Wahl des Energienullpunkts). Das sieht man an der Form der Bose-Einstein-Verteilung:

Wenn positiv wäre, so ergäbe diese Verteilungsfunktion für Energieniveaus negative Werte, weil dann gilt.

Für freie Teilchen im Dreidimensionalen findet man eine Zustandsdichte proportional zur Wurzel aus der Energie [Zustandsdichteberechnung]:

soll dabei die restlichen konstanten Faktoren zusammenfassen:

g bezeichnet den Entartungsgrad der Niveaus aufgrund des Spins s der Teilchen: .

Um bei fester Teilchenzahl N die thermodynamischen Größen zu verschiedenen Temperaturen zu berechnen, muß man das chemische Potential aus der Normierungsbedingung für N bestimmen:

Wenn man in diese Gleichung die Zustandsdichte freier Teilchen im Dreidimensionalen einsetzt und alle konstanten Faktoren auf die linke Seite bringt, ergibt sich:

Dies kann man noch etwas weiter vereinfachen, indem man im Integral die Substitution durchführt und die Fugazität benutzt:

Aus dieser Gleichung kann man nun die Fugazität (und damit das chemische Potential) für beliebige Werte der Dichte und der Temperatur T zu bestimmen versuchen, indem man das Integral auf der rechten Seite als Funktion von z auswertet.

Das Ergebnis ist in diesem Diagramm gezeigt: Da das chemische Potential bei Bosonen nicht größer als Null werden kann, bleibt die Fugazität auf den Bereich beschränkt. Im Spezialfall freier Teilchen in 3D (mit einer Zustandsdichte ) hat auch das Integral I(z), welches oben auf der rechten Seite steht, nur einen beschränkten Wertebereich: Wenn bei fester Dichte N/V die Temperatur zu niedrig oder bei festem T die Dichte N/V zu groß gewählt wird, gibt es keinen Wert der Fugazität z (des chem. Potentials ), der die Normierungsbedingung für die Teilchenzahl erfüllt! Das ist anders bei Fermionen, für die das entsprechende Integral I(z) ebenfalls dargestellt ist (mit im Nenner des Integranden). Dort kann die Fugazität beliebig groß werden und entsprechend gibt es zu jedem vorgegebenen Wert von I(z) (also jeder Dichte/Temperatur) ein z, welches die Gleichung erfüllt.

Diese Aussagen kann man auch an einem Diagramm des chemischen Potentials gegen die Temperatur erkennen. Hier sind Temperatur und chem. Potential dimensionslos gemacht worden:

Beim idealen Fermi-Gas geht das chemische Potential bei einer gewissen Temperatur durch Null und nimmt unterhalb dieser Temperatur positive Werte an. Am Temperaturnullpunkt geht es gegen die Fermienergie. Dagegen kann man ein chemisches Potential für das ideale Bose-Gas nach der oben gegebenen Normierungsbedingung nur berechnen, solange die Temperatur T nicht unter fällt, wo gleich Null wird. Die dritte Kurve zeigt das Verhalten des chemischen Potentials für ein klassisches ideales Gas.

Um diese kritische Temperatur zu berechnen, kann man in der Normierungsbedingung entsprechend einsetzen. Das führt auf . Nach Auswertung des Integrals ergibt sich für in Abhängigkeit von der Dichte:

Bis auf einen Zahlenfaktor kann man diese Bedingung auch in der Form

schreiben, mit der thermischen de-Broglie-Wellenlänge zur Temperatur : Die kritische Temperatur wird dann erreicht, wenn die Teilchenabstände vergleichbar mit der Materiewellenlänge werden, die den Teilchen aufgrund ihrer Wärmebewegung zugeordnet werden kann.

Was passiert für ?

Die Bosonen besetzen in zunehmender Zahl den Grundzustand. Diesen Vorgang bezeichnet man als "Bose-Einstein-Kondensation". Zur Beschreibung dieses Verhaltens ist die kontinuierliche Zustandsdichte nicht mehr ausreichend: Die Ersetzung der Summe durch das Integral

ist nicht mehr zulässig, wenn die Verteilungsfunktion sich schnell ändert auf der Skala des Abstandes der Einteilchenenergieniveaus. Das ist der Fall, sobald die Verteilung auf den Grundzustand konzentriert ist.

Um das wahre Verhalten in erster Näherung richtig zu beschreiben, spaltet man von dem Integral den Grundzustandsterm ab:

Das Integral über die restlichen Zustände wird weiterhin wie oben angegeben ausgewertet. Es ist gleich

Da die Bedingung für die kritische Temperatur gerade war, kann man den Wert des Integrals auch so ausdrücken:

Die Grundzustandsbesetzung ergibt sich dann aus der Normierungsbedingung für die Teilchenzahl:

Also folgt

Da die Energie des Einteilchengrundzustandes gleich Null ist, tragen zur Gesamtenergie des Systems nur diejenigen Teilchen bei, die nicht im Kondensat (im Grundzustand) sind.

Diese Energie ergibt sich durch Mittelwertbildung mit Hilfe der kontinuierlichen Zustandsdichte:

Wenn man das Integral auswertet und die konstanten Vorfaktoren durch ausdrückt, erhält man:

Durch Differenzieren nach T findet man die Wärmekapazität bei konstantem Volumen :

Über findet man damit auch die Temperaturabhängigkeit der Entropie:

E und S setzt man in die freie Energie ein:

Die Gleichheit von und folgt aus . Wegen hat man also auch hier, genauso wie beim idealen Fermi-Gas:

Einsetzen der Beziehung für E ergibt, daß der Druck für unabhängig vom Volumen wird und für gegen Null geht. Dies ist verständlich, weil die Teilchen im Kondensat keine Kraft auf die Behälterwand ausüben:

Weitere Ergebnisse (die hier nicht hergeleitet werden):

verschwindet quadratisch für und hat eine unstetige zweite Ableitung. Alle typischerweise berechneten thermodynamischen Größen (bis zu den zweiten Ableitungen der Potentiale) sind stetig. Jedoch springt die Ableitung der Wärmekapazität nach T.

Verlauf der Wärmekapazität für das ideale Bose-Gas im Dreidimensionalen: Bei der Phasenübergangstemperatur hat einen Knick und fällt dann auf 0 für .

Isothermen des idealen Bose-Gases: Am Phasenübergangspunkt ist die zweite Ableitung des Druckes nach dem Volumen unstetig. Für kleinere Volumina bleibt der Druck konstant, denn bei Kompression wird nur die Zahl der Teilchen im Kondensat erhöht. (Beide Diagramme sind freundlicherweise von Alexander Weisse zur Verfügung gestellt worden)

Alle hier gezeigten Ergebnisse sind gültig für ein ideales Bose-Gas im Dreidimensionalen (Für niedrigere Dimensionen wird bei endlichen Temperaturen nicht gleich Null). Natürlich gibt es in der Natur kein ideales, d.h. wechselwirkungsfreies, Gas aus Bosonen (...mit Teilchenzahlerhaltung; bei Photonen z.B. hat man für alle Temperaturen). Im allgemeinen setzt schon bei viel höheren Temperaturen als die Kondensation des Gases zur Flüssigkeit ein, welche durch die Wechselwirkung und nicht durch die Quanteneffekte bedingt ist. Deshalb muß man zur Beobachtung der Bose-Einstein-Kondensation Teilchen mit schwacher Wechselwirkung wählen und die Dichte des Gases relativ klein halten. Das bedeutet aber auch, daß die Kondensationstemperatur sehr niedrig wird. 1995 ist die Bose-Einstein-Kondensation von Cs, Rb, Na-Atomen experimentell verwirklicht worden.

Für ein ideales Bose-Gas handelt es sich bei der Bose-Einstein-Kondensation um einen Phasenübergang dritter Ordnung, in der Realität findet man einen Übergang zweiter Ordnung.

Informationen zur Bose-Einstein-Kondensation auf dem WWW

Auf dieser Seite finden sich ein Bild der Atomwolke vor und nach der BEK, eine kurze Erklärung der Experimente dazu und eine Anzahl weiterer Links zu dem Thema.

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