DICHTEMATRIX FüR REINE ZUSTÄNDE

Obwohl man für reine quantenmechanische Zustände, die durch eine Wellenfunktion dargestellt werden, die Dichtematrix nicht benötigt, ist es zum Vergleich mit den gemischten Zuständen ganz nützlich, auch hier die Dichtematrix anzugeben.

Eine Wellenfunktion soll nach den Basisfunktionen entwickelt werden:

Der Erwartungswert eines Operators ergibt sich dann zu

Die Dichtematrix des reinen Zustandes ist gegeben durch das hierin auftauchende Produkt der Entwicklungskoeffizienten von , also durch

(Beachte die unterschiedliche Reihenfolge von i,j auf beiden Seiten!)

Damit erhält man den Erwartungswert in anderer Form:

Auch die Wahrscheinlichkeitsverteilung der verschiedenen Eigenwerte von läßt sich mit Hilfe der Dichtematrix schreiben. Wenn man einen Zustand nach der Eigenfunktionen-Basis von entwickelt, so gilt ja, daß als Wahrscheinlichkeit betrachtet wird, den Eigenwert von zu "messen". Um

wenigstens formal basisunabhängig schreiben zu können, führt man folgende Definition ein:

Derjenige Operator, der aus einer Wellenfunktion gerade die Eigenfunktion von "herauspickt", soll mit bezeichnet werden:

Damit das gilt, müssen also die Matrixelemente des Operators die Form

in der Basis der Eigenfunktionen haben. Diese etwas umständliche Definition ermöglicht es, die Wahrscheinlichkeit als Spur - und damit formal basisunabhängig - zu schreiben: