ELEKTROMAGNETISCHES FELD: ENTWICKLUNG NACH EBENEN WELLEN

Im Vakuum erhält man aus den Maxwell-Gleichungen für das elektrische und das magnetische Feld Wellengleichungen:

Jedoch sind und weiterhin über die Maxwellgleichungen miteinander verknüpft und damit nicht unabhängig voneinander. Es ist deshalb günstiger, mit Hilfe von

zum Vektorpotential und dem skalaren Potential überzugehen. Durch eine Eichtransformation ist es immer möglich, zu erhalten ("Coulomb-Eichung"). Man kann dann durch eine weitere Eichtransformation im Vakuum erhalten. Deshalb bleibt nur noch eine Wellengleichung für das Vektorpotential übrig:

Nun setzt man eine Entwicklung nach an, in der Form

Bei dieser Entwicklung ist die Wellengleichung noch nicht verwendet worden: Jede Vektorfunktion könnte man in dieser Weise entwickeln. Die möglichen Werte, die der Wellenvektor durchläuft, ergeben sich, indem man ein würfelförmiges Volumen der Kantenlänge L mit periodischen Randbedingungen voraussetzt. Es muß dann z.B. gelten:

(mit einer ganzen Zahl m). Ebenso erhält man für die anderen Komponenten , diskrete Werte.

Allerdings bringt es diese Entwicklung nach mit sich, daß die Amplituden komplex werden. Zu einem Wellenvektor muß man deshalb zwei reelle Vektoren angeben: Real- und Imaginärteil der Amplitude. Aus der Bedingung, daß das Vektorfeld selbst reell ist, bekommt man jedoch:

Also

Die Amplituden zu und sind damit nicht unabhängig. Für jedes Paar aus Wellenvektoren hat man also doch nur 2 unabhängige reelle Vektoren als Amplituden vorzugeben.

Reelle Darstellung der Entwicklung

Wenn man diese Entwicklung in die Wellengleichung einsetzt, erhält man

Also ergibt sich für jede einzelne Amplitude die Bewegungsgleichung eines harmonischen Oszillators:

mit der linearen Dispersionsrelation

Wegen findet man

Für jede Amplitude gilt also die Gleichung

Deshalb spricht man bei der Coulomb-Eichung () auch von der "transversalen Eichung": In dieser Eichung ist das Vektorpotential eine Überlagerung von transversalen Wellen. Pro erlaubtem -Wert hat man demnach tatsächlich nicht drei, sondern nur zwei unabhängige Komponenten (senkrecht zu ). Für jede dieser Komponenten gilt die Bewegungsgleichung eines harmonischen Oszillators:

Wenn die Entwicklung nach ausgeführt wird, so sind komplex, so daß es sich hierbei eigentlich um vier Bewegungsgleichungen für reelle Koordinaten handelt. Wegen der oben erklärten Abhängigkeit zwischen den Amplituden zu und hat man dennoch nur 2 Bewegungsgleichungen eines harmonischen Oszillators pro -Wert. Die zu einem Wellenvektor gehörige ebene Welle wird demnach als Überlagerung zweier linear polarisierter Wellen (entsprechend den beiden unabhängigen Amplituden) dargestellt.

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