SATZ VON EULER üBER HOMOGENE FUNKTIONEN

Eine Funktion mehrerer Variablen mit der Eigenschaft

heißt homogene Funktion m-ten Grades (man kann also einen gemeinsamen Faktor aller Argumente vor die Funktion ziehen, wo er in der m-ten Potenz erscheint). Wenn man diese Gleichung nach ableitet und anschließend setzt, erhält man

Dies ist der Satz von Euler über homogene Funktionen. In der Thermodynamik braucht man den Spezialfall einer homogenen Funktion ersten Grades. Z.B. gilt für die Entropie bei einem homogenen System (aus der Extensivität):

S ist also eine homogene Funktion ersten Grades. Der Satz von Euler besagt dann, daß

Daher gilt auch

Die daraus ableitbaren Folgerungen für andere thermodynamische Potentiale findet man im ''Überblick über die thermodynamischen Potentiale''.

Ein Beispiel einer Situation, wo S(E,V,N) nicht eine homogene Funktion darstellt, ist ein Flüssigkeitstropfen: Wenn man bei diesem Teilchenzahl, Energie und Volumen verdoppelt, so wird die Entropie nicht einfach verdoppelt. Es gibt nämlich noch einen von der Oberfläche abhängigen Anteil, der damit nicht proportional zum Volumen ist. Das System ist nicht mehr homogen, wenn Oberflächeneffekte wichtig werden.

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