FERMI-GAS AM ABSOLUTEN TEMPERATURNULLPUNKT

Bei T=0 werden die niedrigsten Einteilchenniveaus mit der gegebenen Zahl von Elektronen besetzt. Der zugehörige Mehrteilchenzustand ist der quantenmechanische Grundzustand des Systems. Die Fermi-Dirac-Verteilung zu T=0 ist eine Stufenfunktion, welche für von 1 auf 0 fällt. Das chemische Potential gibt also die Energie des höchsten besetzten Einteilchenniveaus an. wird Fermienergie genannt und ist über die Teilchenzahl festgelegt:

Die Energie des (Mehrteilchen-)Grundzustandes ist

Im -Raum werden die besetzten Zustände von den unbesetzten durch die sogenannte Fermi-Fläche getrennt. Für das freie Elektronengas im Dreidimensionalen ist das eine Kugeloberfläche mit Radius . wird als Fermiimpuls bezeichnet. Das Volumen dieser Kugel ist das Produkt aus der Teilchenzahl N und dem Volumen eines Zustandes im -Raum:

(Der Faktor 1/2 kommt von der Spinentartung)

Der Fermiimpuls ist also proportional zur dritten Wurzel aus der Dichte .

Die Fermienergie ist hier

Die Energie des Gesamtsystems erhält man durch Integration über die besetzten Zustände:

soll der konstante Vorfaktor zur Zustandsdichte sein. Man kann dieses Integral nun mit der Teilchenzahl vergleichen:

Also ist die mittlere Energie pro Teilchen:

Für Elektronen im periodischen Potential eines Kristallgitters ist die Dispersionsrelation komplizierter, so daß auch die Flächen im -Raum nicht mehr einfache Kugeloberflächen sind.

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