FREIE SPINS IM MAGNETFELD
Wenn der Gesamtspin eines Teilchens (Elektron, Atom, Kern, ...) nicht gleich Null ist, dann enthält der Hamiltonoperator des Teilchens im Magnetfeld einen Term
wobei 
der Operator des magnetischen Momentes ist. Wenn man für dieses 
einsetzt, so erhält man im Hamiltonoperator
(g: "Landé-Faktor" (ca. 2 beim Elektron); 
: ''Bohr'sches Magneton'', 
: Spinoperator)
Bem.: Das negative Vorzeichen bei 
entspricht dem Fall eines Elektrons, das eine negative Ladung trägt, so daß Drehimpuls (=Spin) und magnetisches Moment entgegengesetzt gerichtet sind. Das Vorzeichen wird dazu führen, daß bei einem B-Feld in positiver z-Richtung die negativen Eigenwerte von 
zu den energetisch niedriger liegenden Niveaus gehören. Man könnte dieses Vorzeichen auch in den Spinoperator mit aufnehmen.
Der Spinoperator soll hier keinen Faktor 
enthalten, d.h. die Eigenwerte seines Quadrates 
lauten
(und nicht etwa 
)
Der Spinoperator ist ein Vektoroperator mit den Komponenten 
, 
, . Diese kommutieren mit , jedoch nicht untereinander. Die Eigenwerte dieser Operatoren sind gleich
(mit der magnetischen Quantenzahl m)
Wenn man die Koordinatenachsen so wählt, daß die Richtung des Magnetfeldes mit der z-Achse zusammenfällt, so sind die stationären Zustände des Spins im B-Feld gerade die Eigenzustände des -Operators. Die zugehörigen Energieeigenwerte lauten dann
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Es ergeben sich im Magnetfeld also
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Die Behandlung dieses Systems in der Statistischen Physik beginnt mit der Berechnung der Zustandssumme. Es soll dabei für den Term 
die Abkürzung 
verwendet werden ("reduziertes Magnetfeld").
Das kann man mit der Formel 
auswerten:
Wie üblich erhält man die freie Energie aus dem Logarithmus der Zustandssumme:
Die freie Energie hängt vom Parameter Magnetfeldstärke ab, weil diese in den Energieniveaus und damit in der Zustandssumme vorkommt. Der statistische Mittelwert des magnetischen Momentes ergibt sich als Ableitung der freien Energie nach der Magnetfeldstärke
Das sieht man folgendermaßen:
Bei N unabhängigen Spins ergibt sich das gesamte magnetische Moment zu 
. Dann gilt also 
bzw. 
, wie das auch in der Thermodynamik für die von B abhängende freie Energie eingeführt wurde.
Konkret erhält man mit den Abkürzungen 
und 
durch Ableiten des Logarithmus der Zustandssumme 
:
Daraus folgt
Man führt hier die Definition der Brillouinfunktion
ein, um schreiben zu können
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Wichtig hieran ist insbesondere, daß das mittlere magnetische Moment von Temperatur und Magnetfeldstärke nur über den Quotienten 
abhängt.
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| [Formel] |
| Die Brillouinfunktion. Mit "unendlich" ist diejenige Kurve markiert, die sich im Grenzfall einer unendlich großen Spinquantenzahl ergibt. Das entspricht dem klassischen Grenzfall eines magnetischen Momentes im Magnetfeld. |
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Abhängigkeit des mittleren magnetischen Momentes vom Quotienten B/T bei verschiedenen Werten für den Spin S. Vorausgesetzt ist hierbei ein gleich großer g-Faktor. Der Wert x=1 entspricht
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Abhängigkeit des Mittelwertes der z-Komponente des Spins (Spin 1/2) von der Temperatur, bei verschiedenen Magnetfeldstärken. Diese sind in bezug auf den Energieabstand zwischen zwei Niveaus angegeben. Die dicke Linie entspricht
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Dies ist das sogenannte Curie-Gesetz für die magnetische Suszeptibilität eines Paramagneten. 
ist die Curie-Konstante.
Siehe auch: Adiabatische Entmagnetisierung
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Niveaus von unterschiedlicher Energie. Der Abstand zweier aufeinanderfolgender Niveaus ist 
. Die Aufspaltung hängt damit linear vom Magnetfeld ab.
: Dann sind die "thermische Energie" 
und der Abstand zweier Energieniveaus gleich groß. Die nach oben aufgetragenen Werte sind in Einheiten von 
angegeben. Das Elektron mit Spin 1/2 hat z.B. ein magnetisches Moment (entsprechend dem Sättigungswert im Diagramm) von einem Bohrschen Magneton, weil der g-Faktor gleich 2 ist.
. Für Energie und Temperatur sind dimensionslose Einheiten verwendet worden. 
entwickeln:
ist das mittlere magnetische Moment annähernd gegeben durch