DAS IDEALE GAS

Bei nicht zu großen Dichten und nicht zu niedrigen Temperaturen gilt für Gase angenähert folgende Zustandsgleichung, die Zustandsgleichung des "idealen Gases":

Die Isothermen des idealen Gases (Linien mit T=const) im pV-Diagramm sind gleichseitige Hyperbeln:

In der Statistischen Physik wird gezeigt, daß diese Zustandsgleichung für ein System aus N nicht wechselwirkenden Teilchen gilt, die sich in einem Kasten des Volumens V nach den Gesetzen der klassischen Mechanik bewegen. In der Realität hat man natürlich erstens Wechselwirkung zwischen den Teilchen und zweitens muß man die Gesetze der Quantenmechanik beachten (insbesondere also die Besonderheiten bei einem idealen Gas aus Bosonen oder Fermionen). Beides spielt aber im Grenzfall niedriger Dichten und höherer Temperaturen keine Rolle: Dann sind die Teilchen im Mittel so weit entfernt, daß die Wechselwirkung in erster Näherung vernachlässigt werden kann. Auch die Quanteneffekte werden bei geringen Dichten (und gleichzeitig nicht zu niedrigen Temperaturen) unwesentlich, weil es dann im Mittel pro Teilchen viele unbesetzte Einteilchenzustände gibt und eventuelle Mehrfachbesetzung eines Zustandes (die bei Fermionen ausgeschlossen wäre) deshalb keine Rolle spielt. (Vgl. die Abschnitte Klassische statistische Mechanik des idealen Gases; Reale Gase (klassisch): Virialentwicklung; Ideales Fermi-/Bose-Gas)

Die Zustandsgleichung allein reicht aber nicht aus, um alle thermodynamischen Größen des Systems zu berechnen. Wenn man feste Teilchenzahl voraussetzt, so braucht man noch z.B. die Angabe der spezifischen Wärme, um ein thermodynamisches Potential (z.B. E(S,V)) bestimmen zu können.

Da die Ableitung der Energie nach der Temperatur bei konstantem Volumen angibt, kann man aus Kenntnis von die Energie E(T,V) bestimmen, wenn man zusätzlich noch die Abhängigkeit der Energie vom Volumen berechnet:

(Dabei wurden die Maxwellrelation und die Zustandsgleichung benutzt)

Die Energie des idealen Gases hängt also nicht vom Volumen ab! Das gilt natürlich erst recht für die Wärmekapazität als Ableitung der Energie.

So ergibt sich die Energie in Abhängigkeit von der Temperatur aus Kenntnis der Funktion :

Die Entropie erhält man wegen

zu

Weil man jetzt S(T,V) kennt, kann man im Prinzip die Gleichung nach T auflösen () und das in E(T) einsetzen, um E(S,V) zu erhalten. Weil E(S,V) ein thermodynamisches Potential, ausgedrückt in seinen natürlichen Variablen ist, kennt man damit alle interessierenden Größen des Systems - bei fester Teilchenzahl.

Wenn man speziell ein System aus Atomen hat, die weder rotieren können noch sonstige innere Freiheitsgrade haben, dann ist ihre Wärmekapazität nach dem Gleichverteilungssatz :

(Allgemeiner steht statt der Ausdruck , wobei f die Anzahl der Freiheitsgrade der Teilchen angibt. Dabei muß es sich um quadratisch in die Hamiltonfunktion eingehende kanonische Variablen handeln.)

Es gilt in diesem Fall also

Nun kann man die Entropie des idealen Gases explizit berechnen, entweder nach der oben angegebenen Methode oder in dieser Form:

Man erkennt hieran: Die Entropie des idealen Gases nimmt zu bei isothermer Ausdehnung und isochorer (V=const) Temperaturerhöhung. Durch die Kenntnis von S ist es jetzt auch möglich, die adiabatische Ausdehnung (keine Wärmezufuhr, S=const) zu behandeln. Um das Ergebnis gleich in allgemeinerer Form angeben zu können, steht im folgenden statt :

Weil für das ideale Gas gilt , kann man das auch als

schreiben. Dabei wurde der sogenannte Adiabatenexponent eingeführt. Bei einem adiabatischen Prozeß gilt für das ideale Gas demnach:

In den folgenden pV-Diagrammen sind die Adiabaten und Isothermen für einen Adiabatenexponenten (links) bzw. (rechts) gezeigt. Die Adiabaten (blau) verlaufen immer steiler als die Isothermen (orange). Das linke Bild entspricht einem einatomigen Gas (3 translatorische Freiheitsgrade), das rechte einem Gas aus zweiatomigen Molekülen (3 translatorische und 2 rotatorische Freiheitsgrade).

Die Abhängigkeit der Entropie von der Teilchenzahl

Oben wurde die Entropie des idealen Gases bei fester Teilchenzahl abgeleitet. Wenn man diese als veränderlich zuläßt, muß man allgemein schreiben:

Es ist also die Funktion zu bestimmen, die die Abhängigkeit der Entropie des idealen Gases von der Teilchenzahl angibt (zusätzlich zu der in den ersten beiden Termen steckenden Abhängigkeit). In der Statistischen Physik wird gezeigt, daß

gilt . Der letzte Term kommt von der Ununterscheidbarkeit der Teilchen des Gases.

Man kann es auch ohne Statistische Physik zeigen...

Zusammenfassung Die Zustandsgleichung des idealen Gases lautet: Aus der Zustandsgleichung folgt: Die spezifische Wärme und die Energie des idealen Gases hängen nicht vom Volumen ab. Wenn speziell die spezifische Wärme konstant gleich ist (Gleichverteilungssatz), dann gilt: Die Entropie beträgt dann , mit . Mit dem Adiabatenexponent gilt für adiabatische Expansion eines idealen Gases die Adiabatengleichung:

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