DAS IDEALE FERMI-GAS FREIER ELEKTRONEN

Aus der Zustandsdichte freier Elektronen im Dreidimensionalen

können mit Hilfe der Fermi-Dirac-Verteilung alle thermodynamischen Größen berechnet werden.

Produkt aus Zustandsdichte und Fermi-Dirac-Verteilung für freie Elektronen im Dreidimensionalen, bei verschiedenen Temperaturen

Es ergibt sich für das thermodynamische Potential im großkanonischen Ensemble[Herleitung des allgemeinen Ausdruckes]:

Die Energie erhält man durch Mittelwertbildung mit Hilfe der Fermi-Dirac-Verteilung:

Beide Integrale (für E und ) sind nicht durch elementare Funktionen darstellbar. Man kann aber durch partielle Integration das Integral für die Energie so umformen, daß ein Zusammenhang mit sichtbar wird. Dazu benutzt man

Also gilt mit partieller Integration:

Der erste Term verschwindet, weil bei der Faktor gegen Null geht und für gilt:

(schneller, als gegen unendlich strebt)

Durch Vergleich mit dem Ausdruck für erkennt man, daß der zweite Term gleich ist:

(Analog kann man einen solchen Zusammenhang herleiten für jede Zustandsdichte, die als Potenz von geschrieben werden kann)

GRENZFALL HOHER TEMPERATUREN

Für findet man, daß das chemische Potential gegen geht. Die Fermi-Dirac-Verteilung wird dann durch die Boltzmann-Verteilung angenähert und es ergibt sich die Zustandsgleichung eines (klassischen) idealen Gases. Diese Ergebnisse erhält man aus einer Entwicklung nach der "Fugazität" , die im Grenzfall hoher Temperaturen gegen Null geht:

Der Term in der Klammer kann exakt ausgewertet werden und ist bis auf einen durch die Spinentartung bedingten Faktor 2 gleich der klassischen Zustandssumme für ein Teilchen im Kasten (siehe [klassisches ideales Gas]):

Da ist [klassische Zustandssumme], geht die rechte Seite für hohe Temperaturen tatsächlich gegen Null. Der Exponent auf der linken Seite muß also gegen gehen und das führt wegen auf , wie oben behauptet.

Damit ergibt sich nun für das thermodynamische Potential im großkanonischen Ensemble:

(Der letzte Schritt folgt aus der oben angesetzten Normierungsbedingung für N)

Also

Damit folgt aus der für alle Temperaturen exakten Beziehung :

(Die Korrekturen zu diesen Größen sind jeweils von O(z))

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