DIE JACOBI-DETERMINANTE

Es seien zwei Funktionen f,g von zwei Variablen x,y gegeben. Wenn man (f,g) als die beiden Komponenten einer vektorwertigen Funktion F von x,y auffaßt, dann ist

die Funktionalmatrix (Jacobi-Matrix) dieser Funktion F.

Nach der Kettenregel für vektorwertige Funktionen kann man die Funktionalmatrix einer zusammengesetzten Funktion als Produkt der Funktionalmatrizen von G und F schreiben: . Diese Eigenschaft ist wichtig für die sogenannte Jacobi-Determinante, d.h. die Determinante der Funktionalmatrix:

Eigenschaften der Jacobi-Determinante

Eine Determinante wechselt ihr Vorzeichen bei Vertauschung zweier Spalten:

Weil für zwei Matrizen A,B gilt , hat man für die Jacobi-Determinante folgende Kettenregel:

Einen Spezialfall dieser Kettenregel erhält man, wenn man ausnutzt, daß die Hintereinanderausführung der Funktion und ihrer Umkehrfunktion die Identität (mit der Einheitsmatrix als Funktionalmatrix) ergibt:

Außerdem kann man partielle Ableitungen mit Hilfe der Jacobi-Determinante schreiben:

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