MAGNETISCHE ENERGIE

Zur Erinnerung: Die Energiedichte des (statischen) Magnetfeldes im Vakuum beträgt (mit als "magnetischer Induktion"):

(CGS-System)

Bei Anwesenheit von Materie hat man für das Magnetfeld (erzeugt durch die "freien Ströme") und die Magnetisierung (magnetisches Moment pro Volumeneinheit):

Die Energiedichte ist dann

Auf einen magnetischen Dipol wird durch das Magnetfeld das Drehmoment

ausgeübt. Hier ist das Drehmoment als bezeichnet, um der Verwechslungsgefahr mit der Magnetisierung zu entgehen.

Falls dieses magnetische Moment an einen starren Körper gekoppelt ist, der rotieren kann, so ergibt sich die zeitliche Änderung der Rotationsenergie zu:

(Wegen der starren Rotation ist )

Solange konstant ist, kann man deshalb sagen, daß

also

ist. In diesem Fall spielt

die Rolle einer potentiellen Energie des magnetischen Dipols im festen Magnetfeld. Es ist jedoch wichtig, zu bemerken, daß auch

diesen Zweck erfüllt. Das Hinzufügen der Konstanten hat wie üblich auf die Bewegungsgleichungen des Systems keine Auswirkungen. Aber es zeigt, daß man nicht von vornherein

als Energie des Systems definieren darf, falls man z.B. die Energieerhaltung bei Veränderung des externen Magnetfeldes analysieren will. Tatsächlich ist es notwendig, gleichzeitig die Rotations- (kinetische) Energie des Systems und die Feldenergie insgesamt zu betrachten.

Um nicht irgendeinen Energiebeitrag zu übersehen, ist es deshalb besser, statt

(Volumen V, Magnetisierung des Systems)

die von außen zugeführte Energie anzuschauen.

Es geht also darum, die Arbeit zu berechnen, welche durch die Spannungsquelle einer Spule geleistet werden muß, um einen Körper (in der Spule) zu magnetisieren.

Das durch den Strom I erzeugte Magnetfeld ist wegen

gleich

(l: Spulenlänge, N: Windungszahl)

Während des Vorgangs soll sich das B-Feld in der Spule ändern. Durch diese Änderung des magnetischen Flusses wird eine Spannung induziert, die bei zunehmender Stromstärke gegen den Strom wirkt (Lenzsche Regel):

(A: Querschnittsfläche der Spule)

Damit der Stromfluß aufrechterhalten wird, muß die Spannungsquelle eine gleich große, entgegengesetzt gerichtete Spannung aufbringen. Es werden hierbei die Ohmschen Verluste vernachlässigt. Diese würden dazu führen, daß die Spannungsquelle noch eine etwas höhere Spannung aufbringen müßte (). Die zusätzlich geleistete Arbeit würde als Wärme "verlorengehen". Wenn man also annimmt, daß keine Ohmschen Verluste auftreten, so muß die Spannungsquelle nur dann Arbeit leisten, wenn sich das Magnetfeld ändert. Nur dann ist die Spannung ungleich Null. Diese Arbeit dient sowohl zur Erhöhung der Energie des Magnetfeldes in der Spule als auch zur Magnetisierung des Körpers. Sie beträgt

Wenn man dieses Integral vom Anfangszeitpunkt zum Endzeitpunkt erstreckt, erhält man die gesamte von der Spule geleistete Arbeit. Nun könnte man dies als Energieänderung des betrachteten magnetischen Systems ansehen. Da aber selbst ohne den Körper in der Spule eine gewisse Arbeit aufgebracht worden wäre (um das Magnetfeld H in der Spule aufzubauen), spaltet man W in zwei Anteile auf: Ein Anteil ergibt die (Änderung der) Feldenergie für eine leere Spule, der andere wird als Energieänderung des Systems angesehen:

1 und 2 bezeichnen dabei Anfangs- und Endzustand (-zeitpunkt). Der erste Term ergibt die Energie, die das Feld allein (ohne anwesenden magnetisierbaren Körper) hinzugewonnen hätte. Der zweite Term kann deshalb als Energie aufgefaßt werden, die der Körper hinzugewonnen hat:

Diese Aufspaltung ist aber etwas willkürlich. Man kann auf anderem Wege die Energieänderung "des Systems" berechnen und kommt auf

Berechnung der Energiezunahme des Körpers (im Detail)

Es gibt daher (mindst.) zwei mögliche Definitionen für die Energie des magnetischen Systems im Feld, die sich durch die Art der Aufspaltung in Feld- und Systemenergie unterscheiden (die Energieangabe soll sich im folgenden auf die Volumeneinheit beziehen, so daß der Faktor Volumen fortgelassen werden kann):

oder

Die Differenz beträgt (+evtl. eine Konstante). Das sieht man wie folgt:

Nun könnte man meinen, daß auch noch beliebige andere Möglichkeiten existieren. Z.B. etwas in der Form

(man könnte dabei an die oben erklärte "potentielle Energie" denken).

Diese Definition führt aber auf einen Widerspruch, denn dann wäre

Dieser Term ist jedoch kein totales Differential (bezgl. der unabhängigen Variablen M,S); es sei denn, M hängt zufälligerweise linear von B ab (was allerdings häufig vorkommt). Demnach liegt ein Widerspruch vor, denn müßte ein totales Differential sein. Mit anderen Worten: Wenn eine zulässige Form der Energie darstellt, so ist das zwar auch für der Fall, aber nicht für .

In der Statistischen Physik ist die Energie der statistische Mittelwert über die Energien der einzelnen Quantenzustände. Der Wert der Energie hängt also davon ab, welche Energiebeiträge man in den Hamiltonoperator (die Hamiltonfunktion) aufnimmt. Bei der Betrachtung von magnetischen Systemen stehen im Hamiltonoperator i.allg. nur Terme der Form

für jedes magnetische Moment des Systems. Das führt auf eine Energie , die das Differential

hat, entsprechend der ersten oben angegebenen Form.

Diese Willkür in der Definition der Energieänderung "des Systems" kommt bei Kreisprozessen (z.B. Hystereseschleife) gar nicht zum Tragen, denn dann gilt , so daß der "Feldenergieanteil" verschwindet. Mehr noch: Wegen

ergibt sich (für Kreisprozesse, die in denselben Zustand zurückführen!):

In analoger Weise erhält man folgende Gleichungskette:

Das bedeutet, daß man statt genausogut oder verwenden könnte, wenn es nur auf die gesamte Energieänderung bei einem solchen Kreisprozeß ankommt.

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