MAGNETISCHE ENERGIE (IM DETAIL)

Die Leistung, die das elektromagnetische Feld an einer Ladung verrichtet, welche den Betrag q und die Geschwindigkeit hat, ist

Wenn man eine Ladungsdichte betrachtet, dann ist die Dichte der Leistung

(mit der Stromdichte )

Dies ist die Energie, die dem Feld pro Volumenelement und Zeiteinheit verlorengeht. Das sieht man an dem Energieerhaltungssatz für das elektromagnetische Feld, wie er bei Anwesenheit von Ladungen zu schreiben ist:

Die Arbeit, die das elektromagnetische Feld an den Ladungen leistet, dient zur Erhöhung der kinetischen Energie der Ladungen. Wenn trotzdem deren Geschwindigkeit im Mittel konstant bleibt, dann bedeutet das, daß sie diese Energie wieder abgeben (z.B. durch Stöße mit anderen Teilchen). Auf jeden Fall aber ist dies die Energie, welche dem System, das die Ladungen enthält, vom elektromagnetischen Feld zugeführt wird.

Die dem magnetischen System insgesamt während des betrachteten Zeitraums zugeführte Energie beträgt also:

stellt dabei die Stromdichte innerhalb des Systems dar. Die entspricht keinen "freien Strömen" im Sinne der üblichen Definition, sondern es sind Ströme, die zur Magnetisierung des Körpers zusammengefaßt werden. Es ist (Def. von !):

Wenn man das probehalber in die Maxwell-Gleichung

einsetzt, sieht man, daß für tatsächlich

gilt, wie es sein soll, wenn keine freien Ströme fließen.

Man hat also für die Energieänderung des Systems

Um ausschließlich magnetische Größen im Endergebnis zu haben, möchte man unter dem Integral erhalten. Denn es gilt schließlich

Zu diesem Zweck benutzt man

Denn damit kann man den Satz von Gauß anwenden:

Das Oberflächenintegral verschwindet, wenn man die Oberfläche außerhalb des Systems legt, wo ist. Das zweite Integral enthält , wie gewünscht:

Das ist nicht gleich der Arbeit der Spule, denn diese verrichtet natürlich auch noch am Feld Arbeit. Wegen der Energieerhaltung gilt aber jedenfalls:

ZUSAMMENFASSUNG

Arbeit der Spule: [Herleitung]

Erhöhung der Energie des Systems (aus , siehe oben):

Erhöhung der Feldenergie (aus oder direkt aus der Definition der Energiedichte des elektromagnetischen Feldes im Vakuum):

Erhöhung der Feldenergie, wenn der magnetisierbare Körper nicht anwesend wäre:

Arbeit der Spule abzüglich dieser letztgenannten Feldenergie (siehe auch die oben schon erwähnte [Herleitung]):

Letzteres stellt somit eine alternative Definition der Energie des Systems dar, wenn man eine andere Aufspaltung in Feldenergie und Systemenergie wählt.

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