Statistische Mechanik des Strahlungsfeldes

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STATISTISCHE MECHANIK DES STRAHLUNGSFELDES

Entwicklung des elektromagnetischen Feldes nach ebenen Wellen

Bei der Entwicklung des elektromagnetischen Feldes nach ebenen Wellen (Volumen mit Kantenlänge L, periodische Randbedingungen) ergeben sich pro erlaubtem Wellenvektor zwei Schwingungsmoden.

Zu jeder dieser Moden gehört die Bewegungsgleichung eines (1D) harmonischen Oszillators für die zugehörige zeitabhängige Amplitude. Dieses Ergebnis überträgt sich auf die Quantenmechanik: Der Hamiltonoperator des elektromagnetischen Feldes im Vakuum beschreibt ein System von unabhängig schwingenden harmonischen Oszillatoren:

kennzeichnet die beiden zu einem -Wert gehörenden (transversalen) Moden, also die beiden Polarisationsrichtungen. Die Frequenz hängt linear vom Betrag des Wellenvektors ab:

Weil die thermodynamischen Größen eines harmonischen Oszillators bereits berechnet wurden, benötigt man nur noch die Zustandsdichte, um insbesondere die spektrale Energiedichte zu berechnen.

Im -Raum entfällt auf einen möglichen -Wert ein Volumen , so daß die Anzahl der Moden mit gegeben ist durch

(: Volumen) Der Faktor 2 kommt von den beiden Polarisationsrichtungen zu jedem -Wert. Mit ist die Anzahl der Moden mit Frequenzen unterhalb von :

Die Zustandsdichte erhält man durch Differentiation:

Um auf die spektrale Energiedichte zu kommen, benötigt man nur noch den mittleren Energieinhalt eines harmonischen Oszillators bei der Temperatur T. Der ist gegeben durch

Der erste Summand stellt die konstante Nullpunkts-(d.h. Grundzustands-)energie des Oszillators dar.

Nun entsteht dadurch scheinbar ein Problem, weil die Anzahl der Moden unendlich groß ist: Der Wellenvektor nimmt zwar nur diskrete Werte an, jedoch gibt es keine obere Schranke für die Komponenten von . Das ist anders als im Fall der Phononen, wo in der ersten Brillouinzone liegen muß. Diese Einschränkung ergibt sich dort aus der Tatsache, daß es wegen des endlichen Gitterabstandes eine minimale Wellenlänge gibt. Beim elektromagnetischen Feld ist das nicht der Fall. So würde also bei Summation über diese unendliche Zahl von Schwingungsmoden ein unendlicher großer Beitrag von der Nullpunktsenergie stammen. Da man aber den Energienullpunkt beliebig wählen kann und tatsächlich nur die Energiedifferenzen wichtig sind, ist es hier möglich, den Beitrag der Nullpunktsenergie fortzulassen.

Es bleibt nur der zweite Term. Wenn der Oszillator im n-ten angeregten Zustand ist, so spricht man davon, daß sich in der betreffenden Schwingungsmode n "Photonen" befinden. Da die Vernichter- und Erzeugeroperatoren des harmonischen Oszillators den Vertauschungsrelationen für Bosonen-Erzeuger-/Vernichteroperatoren gehorchen, handelt es sich dabei um Bosonen. In diesem Teilchenbild ist der zweite Term in der Energie des harmonischen Oszillators das Produkt aus der Energie eines Photons mit der mittleren Zahl von Photonen in der entsprechenden Schwingungsmode. Die hier angegebene mittlere Besetzungszahl entspricht tatsächlich der Bose-Einstein-Verteilung, wenn das chemische Potential ist, und zwar für alle Werte der Temperatur. Normalerweise hängt das chemische Potential mit der Normierung der Verteilung zusammen und ist bei gegebener Teilchenzahl gerade so zu wählen, daß das Integral über das Produkt von Verteilungsfunktion und Zustandsdichte ergibt. Hier aber ist , so daß bei veränderter Temperatur auch die über dieses Integral berechnete Photonenzahl einen anderen Wert annimmt: Für die Photonen gilt keine Teilchenzahlerhaltung (genauso wie für Phononen, Magnonen usw.). Wenn man von dieser Tatsache ausgeht, kann man andererseits die Gleichung ableiten, indem man ausnutzt, daß für ein System im Wärmebad die freie Energie minimal wird - bei Variation aller Parameter, die nicht durch die Randbedingungen festgelegt sind. Da in diesem Fall auch variabel ist, gilt

Die spektrale Energiedichte (Energie/Frequenzintervall) erhält man durch Multiplikation von mit , wobei die oben bereits angegebene mittlere Besetzungszahl ist:

Dies ist das Plancksche Strahlungsgesetz .

Verlauf der spektralen Energiedichte nach dem Planckschen Strahlungsgesetz

Spektrum bei verschiedenen Temperaturen. Bei höheren Temperaturen verschiebt sich das Maximum nach rechts und die Fläche unter der Kurve wächst an (mit der vierten Potenz von T: Stefan-Boltzmann-Gesetz). (Die Farben haben nichts mit den Farben des sichtbaren Lichtes zu tun, sondern sollen nur die verschiedenen Temperaturen kennzeichnen)

Die Frequenz , bei der das Maximum der Verteilung liegt, ist direkt proportional zur Temperatur:

(" Wiensches Verschiebungsgesetz ")

Für niedrige Frequenzen erhält man aus dem Planckschen Strahlungsgesetz durch Entwicklung des Nenners das Rayleigh -Jeans-Gesetz:

Dieses Ergebnis wurde nach der klassischen Statistischen Mechanik erwartet: Es steht hier einfach das Produkt aus der mittleren Energie eines klassischen harmonischen Oszillators, , und der Zustandsdichte. Diese mittlere Energie des Oszillators ergibt sich aus dem Gleichverteilungssatz. Wenn aber die Temperatur bezogen auf die Frequenz zu klein wird, werden quantenmechanische Effekte wichtig und die mittlere Energie ist nicht mehr durch gegeben. Das Divergieren des Rayleigh-Jeans-Gesetzes bei hohen Frequenzen ("Ultraviolettkatastrophe") hat also die gleiche Ursache wie das Versagen der klassischen Statistischen Mechanik bei der Berechnung der spezifischen Wärme der Gitterschwingungen eines Festkörpers bei niedrigen Temperaturen: Dann sind die hohen Frequenzen praktisch nicht angeregt, denn dafür ist eine Minimalenergie von nötig. Weil es aber beim Festkörper nur endlich viele Schwingungsmoden gibt, sind dort die Gesetze der klassischen Statistischen Mechanik zumindest für höhere Temperaturen anwendbar (Dulong-Petit-Gesetz). Im Falle des Strahlungsfeldes wird das Spektrum nur im niederfrequenten Bereich annähernd nach der klassischen Verteilung beschrieben.