IDEALES FERMI-/BOSE-GAS
Für ein System aus N identischen Fermionen/Bosonen kann man die Zustände der Mehrteilchenbasis in der Form
kennzeichnen, wobei 
die Besetzungszahl des i-ten Einteilchenzustandes darstellt. Bei Fermionen kann die Werte 0 oder 1 annehmen, bei Bosonen gilt 
. Außerdem muß die Summe aller die Gesamtteilchenzahl N ergeben:
Dann, wenn keine Wechselwirkung zwischen den Teilchen vorhanden ist, spricht man vom idealen Fermi-/Bose-Gas.
In diesem Fall wählt man als Einteilchenbasis die Basis der stationären Einteilchenzustände.
Die sich daraus ergebenden Mehrteilchenzustände sind dann automatisch Eigenfunktionen zum Hamiltonoperator des Gesamtsystems. Der Energieeigenwert zum Zustand 
ist
wobei 
die Energie des i-ten Einteilchenniveaus ist.
Die Zustandssumme eines solchen Systems aus N Teilchen lautet im kanonischen Ensemble:
Der Strich an der Summe soll bedeuten, daß nur über alle Kombinationen von Besetzungszahlen summiert werden soll, für welche die Bedingung
erfüllt ist. Außerdem ist für Fermionen natürlich die Einschränkung 
zu beachten.
Die kanonische Zustandssumme kann jedoch nicht weiter vereinfacht werden. Deshalb wählt man aus rechnerischen Gründen die Beschreibung im großkanonischen Ensemble:
Die Summe in der zweiten Zeile läuft über alle möglichen Kombinationen der Besetzungszahlen , ohne die Einschränkung 
. Das macht es möglich, die Summe als Produkt zu schreiben: Dieses Produkt umfaßt alle Einteilchenzustände (Index i). Jeder Faktor ist eine Summe über alle möglichen Werte der Besetzungszahl dieses Einteilchenzustandes: Für Fermionen ; für Bosonen 
. Wenn man diese Summe ausführt, dann ergibt sich für
Fermionen:
Bosonen:
(Summenformel für die geometrische Reihe)
Aus der Zustandssumme im großkanonischen Ensemble kann man das thermodynamische Potential
Fermionen:
Bosonen:
Wenn man
Da in den Formeln für
Als weitere Beziehung erhält man
Es soll nun die mittlere Besetzungszahl
Die erste Summe läuft über alle Kombinationen der Besetzungszahlen, wobei jedoch
nun
Alle anderen Faktoren sind genauso wie in
Man könnte dieses Ergebnis auch erhalten, wenn man jedes Einteilchenniveau als System im großkanonischen Ensemble betrachtet (mit nur einem quantenmechanischen Zustand, aber variabler Teilchenzahl).
Speziell erhält man für
Fermionen:
Also
und
Bosonen:
berechnen:
für ein spezielles System von Einteilchenniveaus berechnet hat, kann man alle weiteren thermodynamischen Größen erhalten:
statt T der Ausdruck 
auftaucht, und die Abhängigkeit von 
in der ''Fugazität'' 
steht, ist es nützlich, auch die Ableitungen von nach diesen Größen zu betrachten:
eines Einteilchenniveaus im thermodynamischen Gleichgewicht berechnet werden. Dazu benötigt man die Kenntnis der Wahrscheinlichkeit 
, daß das i-te Niveau mit n Teilchen besetzt ist:
fest gehalten wird. Wenn auch über summiert würde, hätte man in der Klammer wieder die großkanonische Zustandssumme Z stehen, so wie im Nenner. Hier aber steht anstelle des Faktors 
, so daß sie wegfallen. Es bleibt:
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Dies ist die Fermi-Dirac-Verteilung.
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Die Fermi-Dirac-Verteilung für verschiedene Temperaturen (zunehmend von blau nach gelb), gezeigt für das Beispiel eines zweidimensionalen Elektronengases, welches eine konstante Zustandsdichte hat. Das Produkt aus Zustandsdichte  und der Fermi-Dirac-Verteilungsfunktion ist deshalb wieder diese Verteilungsfunktion. Das chemische Potential befindet sich an der Stelle, wo die Verteilung auf 1/2 abgefallen ist. In diesem Beispiel verschiebt sich das chemische Potential mit wachsender Temperatur nach unten. (allgemeines Verhalten: Sommerfeld-Entwicklung) Die Verteilungsfunktion hat bei  einen Wendepunkt und ist um die Stelle  punktsymmetrisch. |
Bosonen:
Die Auswertung dieser Summe wird beim harmonischen Oszillator gezeigt. Als Ergebnis erhält man
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Dies ist die "Bose-Einstein-Verteilung"
Im großkanonischen Ensemble ist die mittlere Teilchenzahl eine Funktion des chemischen Potentials (und der anderen Parameter T,V). N ergibt sich zu
(+: Fermionen/ -: Bosonen)
Oft gibt man sich die Teilchenzahl vor und berechnet dann über diese Gleichung das dazugehörige chemische Potential.
Durch Einführung einer Einteilchenzustandsdichte kann man die Summe in ein Integral umwandeln:
(
ergibt die Zahl der Einteilchenzustände im Intervall 
)
Dieser Schritt ist jedoch nur dann zulässig, wenn die Verteilung langsam variiert auf der Skala der Energieabstände der Einteilchenniveaus. Insbesondere bei Bosonen kann diese Ersetzung der Summe durch ein Integral unter Umständen falsch sein, was beim Phänomen der Bose-Einstein-Kondensation eine Rolle spielt.
Mit Hilfe der Zustandsdichte erhält man:
(oberes Vorzeichen: Fermionen)
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