QUANTENMECHANISCHE / KLASSISCHE ERWARTUNGSWERTE

Um Zustandssummen und statistische Erwartungswerte auszurechnen, muß man die Spur eines Operators auswerten:

(: Dichtematrix)

Man kann den Übergang zu den Phasenraumintegralen der klassischen statistischen Mechanik durchführen, indem man formal eine Entwicklung nach Potenzen von h ansetzt. Dazu ist es günstig, die Impuls- und die Ortsbasis zu benutzen:

y steht hier wie eine Art Index, der die verschiedenen Wellenfunktionen der Ortsbasis durchnumeriert, während x das Argument der Wellenfunktion ist. Die Impulsbasisfunktionen sind noch nicht normiert.

Um die Spur eines Operators in der Impulsbasis zu schreiben, ist es günstig, zuerst vom Fall eines endlich großen Kastens der Länge L auszugehen. Dann ergibt sich für das Betragsquadrat der Impulsbasiszustände:

Die möglichen Werte der Wellenzahl k lauten (bei periodischen Randbedingungen):

Die Spur des Operators erhält man nun in dieser Basis durch eine Summe über alle Werte von , entsprechend allen Zuständen der Impulsbasis. Wenn man dann die Länge des Kastens gegen unendlich gehen läßt, kann man die Summe in ein Integral umwandeln. Um die Umwandlung durchzuführen, betrachtet man als Integrationsvariable, und ersetzt in der Summe durch im Integral. Man muß bei der Spurbildung noch beachten, daß die Zustände nicht normiert sind, so daß sich der Faktor ergibt.

Damit ist man bereits auf das Integral über den Impulsraum gekommen, welches in der Bildung von Erwartungswerten in der klassischen statistischen Mechanik auftaucht. Das Integral über den Ortsraum erhält man so:

Denn . Man hat hier also noch eine Entwicklung nach der Ortsbasis eingefügt. Um zu den Erwartungswerten der klassischen statistischen Mechanik zu kommen, muß man nun den Integrand

mit der Funktion

vergleichen, welche in den Phasenraumintegralen vorkommt.

Der Operator kann als Term dargestellt werden, der die Operatoren und enthält. Es gelten für , die Beziehungen

Falls im Operator nur vorkommt, so kann man schreiben

Dabei wurde benutzt, daß der zu hermitesche Operator gegeben ist durch , und daß gilt.

Ähnlich ist die Situation, wenn in nur vorkommt:

Etwas schwieriger wird es, wenn in gemischte Terme der Art

etc. auftauchen. Solche Terme kommen vor, wenn man in eine Taylorreihe in und entwickelt. Durch sukzessive Vertauschungen kann man diesen Ausdruck zu

umformen. Der Ausdruck kann leicht ausgewertet werden, wenn der Operator solch eine Form hat (siehe unten). Jedoch erhält man bei jeder dieser Vertauschungen zusätzliche Terme:

Alle diese Zusatzterme sind aber mindestens von erster Ordnung in h. Deshalb ist es möglich, die Mischterme in durch Vertauschungen auf die geordnete Form zu bringen, wobei man nur einen "Fehler" der Ordnung macht:

Das Skalarprodukt kann leicht ausgewertet werden:

Also kann man zusammenfassend schreiben:

Jetzt ist es schließlich möglich, die quantenmechanische Spurbildung mit dem klassischen Integral über den Phasenraum zu verknüpfen:

Da es sich jedoch nur um eine formale "Entwicklung" handelt (h hat einen festen, endlichen Wert), muß man in jedem Einzelfall prüfen, ob die klassische statistische Mechanik näherungsweise anwendbar ist, d.h. ob man den Term "O(h)" weglassen kann.

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