ERINNERUNG AN DIE QUANTENMECHANIK

Der Zustand eines quantenmechanischen Systems wird beschrieben durch Angabe der Wellenfunktion . q steht hier für einen vollständigen Satz von Koordinaten und evtl. Quantenzahlen. Zum Beispiel würde man für q im Falle eines Systems aus N Elektronen alle 3N Koordinaten der Elektronen sowie N Quantenzahlen mit den Werten oder (für die Spins) einsetzen.

Einem Operator (der allgemein eine gegebene Wellenfunktion in eine andere überführt) ordnet man seinen Erwartungswert bezüglich des Zustandes zu:

Die Schreibweise soll darauf hinweisen, daß man zuerst den Operator auf die Wellenfunktion wirken lassen muß, um dann das Ergebnis (eine neue Wellenfunktion) an der Stelle q auszuwerten. Falls in q auch "diskrete Koordinaten" (also Quantenzahlen, wie z.B. für den Spin) enthalten sind, muß man bezüglich dieser Koordinaten keine Integration, sondern eine Summation ausführen - so wie das jetzt gleich allgemeiner gezeigt wird.

Man kann jede Wellenfunktion nach einem beliebigen vollständigen Orthonormalsystem entwickeln (Bedeutung von "vollständig"!):

Die Entwicklungskoeffizienten von nach den Funktionen sind dabei gegeben durch [?].

Für den Erwartungswert von bezgüglich hat man dann [?]:

Wegen kann man das auch noch in der einprägsamen Form

schreiben. Man hat dabei also , eingefügt und über i,j summiert.

Eine besonders einfache Form nehmen die Beziehungen an, wenn man nach einer Basis aus Eigenfunktionen des Operators entwickelt ("Spektralzerlegung"):

Die sollen die Eigenwerte von darstellen. In der Basis seiner Eigenfunktionen ist die Matrix zum Operator diagonal, denn es gilt:

Im letzten Schritt hat man benutzt, daß die orthogonal sind. muß in diesem Fall demnach ein hermitescher (selbstadjungierter) Operator sein - sonst könnte man ihn nicht in einer Orthogonalbasis auf Diagonalgestalt bringen.

Der Erwartungswert von ergibt sich in der Basis seiner Eigenfunktionen zu:

Die Zahl wird als Wahrscheinlichkeit interpretiert, den Wert bei einer "Messung" zu finden, welche den Wert der "Observablen" A bestimmen soll:

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