SCHWANKUNGEN MAKROSKOPISCHER GRÖßEN

Zu zwei Observablen , (mit ) wird die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung durch

definiert (mit der Dichtematrix ).

, heißen statistisch unabhängig, falls gilt:

Dann findet man für den Mittelwert des Produkts:

Größen, die dieser Gleichung genügen, heißen unkorreliert. Unabhängige Größen sind (wie hier gezeigt) immer unkorreliert, aber unkorrelierte Größen sind i.a. nicht unabhängig.

Der Wert einer additiven (makroskopischen) Größe kann als Integral über das Systemvolumen geschrieben werden:

ist die zugehörige Dichte. Für den Mittelwert von A gilt:

Für die quadratische Schwankung von A findet man, unter Berücksichtigung der Tatsache, daß und an unterschiedlichen Orten nicht unbedingt unabhängig voneinander sind:

Dann, wenn und unabhängig sind (für ), vereinfacht sich dieses Integral zu

Im letzten Schritt wurde eine über das Volumen konstante Dichte der Schwankung angenommen. Bezogen auf den Mittelwert ist die Schwankung demnach

Mit zunehmender Systemgröße wird deshalb die relative Schwankung von A gegen Null gehen.

Falls jedoch eine Abhängigkeit zwischen und an unterschiedlichen Orten besteht, muß man zusätzliche Annahmen treffen, um dieses Ergebnis zu erhalten.

Die Korrelationslänge gibt qualitativ den Wert des Abstandes an, oberhalb dessen

gilt. Genauer gesagt bestimmt die Korrelationslänge die Skala, auf der diese Größe asymptotisch exponentiell mit abklingt.

Die Korrelationslänge l liegt typischerweise - außer nahe bei Phasenübergängen - in der Größenordnung 0.1-1 nm.

Mit der Korrelationslänge l kann man das oben gegebene Integral abschätzen, in dem zu jedem Punkt des Systems nur ein Volumen von der Größe einen nichtverschwindenden Beitrag liefert:

Die relative Schwankung ist hier

Im Thermodynamischen Grenzfall läßt man die Systemgröße gegen unendlich streben (), derart, daß die Dichten konstant bleiben (). Dann werden die relativen Schwankungen additiver Größen vernachlässigbar klein (und in realen Systemen sind sie typischerweise von der Größenordnung ).

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