STATISTISCHES ENSEMBLE (KLASSISCH)

Anstatt die Bewegung eines einzelnen Systems zu untersuchen, betrachtet man in der Statistischen Mechanik ein "Ensemble" aus vielen gleichartigen Systemen, die jedoch unterschiedliche Anfangsbedingungen ihrer Bewegung haben sollen.

Der Zustand jedes dieser Systeme wird festgelegt durch Angabe eines Punktes im Phasenraum (Angabe von ). Wenn man diese Punkte alle in ein- und demselben Phasenraum einträgt, so verändert sich diese "Punktwolke" gemäß den Bewegungsgleichungen des Systems. Man kann sich vorstellen, daß so die Unkenntnis über den genauen Anfangszustand eines einzelnen Systems dargestellt wird. Es liegt nahe, eine Dichte dieser Punkte zu definieren, um dann die Mittelwertbildung auf diese Dichte zu beziehen.

ist die Wahrscheinlichkeit, daß sich ein zufällig herausgegriffenes System des Ensembles im Volumenelement an der Stelle des Phasenraumes befindet.

Die Dichte ist normiert:

Für den Mittelwert einer Funktion gilt:

Die Wahrscheinlichkeit, für A bei der Messung an einem zufällig herausgegriffenen System des Ensembles einen Wert zwischen a und b zu erhalten, ist gleich dem Integral über die Dichte im entsprechenden Volumen des Phasenraumes:

Die Wahrscheinlichkeitsdichte für A ist

gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, einen Wert zu finden.

Zeitentwicklung der Dichte

Da im Verlauf der Zeitentwicklung des Ensembles kein System "verlorengeht" oder "dazukommt", muß für die zeitliche Veränderung der Dichte eine Kontinuitätsgleichung gelten:

Die zeitliche Änderung des Integrals über die Dichte in einem Volumen des Phasenraumes ist gleich dem Strom der Dichte durch die Oberfläche des Volumens. Da die Systempunkte sich jeweils mit der Geschwindigkeit im Phasenraum bewegen, ist die zugehörige Stromdichte gleich ("Stromdichte gleich Dichte mal Geschwindigkeit"). Das Oberflächenintegral auf der rechten Seite ergibt deshalb tatsächlich den Dichtestrom durch die Oberfläche.

In differentieller Form lautet diese Kontinuitätsgleichung:

Dabei ist die Divergenz bezüglich der Koordinaten p,q in der Form

zu nehmen.

Man kann nun benutzen, daß gilt. Das folgt aus den Hamiltonschen Bewegungsgleichungen des Systems:

Deshalb nimmt die Kontinuitätsgleichung folgende Gestalt an:

Mit den "Poissonschen Klammern" lautet diese Gleichung:

Man beachte die formale Ähnlichkeit zur Bewegungsgleichung der Dichtematrix in der Quantenmechanik:

Zu einer interessanten Aussage kommt man bei Betrachtung der zeitlichen Veränderung der Dichte entlang einer Trajektorie:

Die Dichte, genommen am Ort eines mitbewegten Systempunktes, ändert sich zeitlich nicht. Das bedeutet: Wenn man ein von einer Menge aus "Systempunkten" im Phasenraum gebildetes Volumen im Zeitverlauf betrachtet, so kann es zwar seine Form, nicht aber den Volumeninhalt ändern - sonst würde sich ja auch die Dichte ändern.

Man kann die zeitliche Entwicklung der Dichte im Phasenraum deshalb mit der Strömung einer inkompressiblen Flüssigkeit vergleichen.

Die Beziehung wird als Liouville-Theorem bezeichnet.

Falls insbesondere die Dichte sich im Zeitverlauf nicht ändert (), so kann man aus schließen, daß entlang einer Trajektorie die Dichte konstant sein muß.

Das genügt jedoch nicht, um z.B. zu zeigen, daß die Dichte auf einer "Energieschale", also einem Gebiet im Phasenraum, konstant ist. Zwar verläuft eine Trajektorie eines abgeschlossenen Systems innerhalb einer solchen Energieschale. Daß aber die Trajektorie jeden Punkt dieser Fläche erreicht (oder zumindest jedem Punkt beliebig nahe kommt), ist nicht allgemein der Fall. Wenn man für ein spezielles System von der Annahme ausgeht, daß dies zutrifft, so wird die Annahme als "Ergoden-Hypothese" bezeichnet.

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