GEMISCHTE ZUSTÄNDE

Die Einführung ''gemischter Zustände'' bedeutet eine Art Mittelung über quantenmechanische, ''reine'' Zustände. Man kann auf zwei Arten zu solch einer Mittelung gelangen: Entweder man betrachtet ein kleineres Teilsystem eines quantenmechanischen Systems, oder man untersucht ein ''statistisches Ensemble'' aus gleichartigen Systemen. Beide Zugänge führen letztendlich auf die Dichtematrix, die die Grundlage für die statistische Beschreibung quantenmechanischer Systeme bildet.

EIN TEILSYSTEM EINES GRÖßEREN QUANTENMECHANISCHEN SYSTEMS

Folgende Situation ist in der statistischen Physik von Bedeutung: Man betrachtet ein quantenmechanisches System, welches nicht abgeschlossen ist, sondern als Bestandteil eines größeren (abgeschlossenen) Systems vorliegt. Es soll mit den restlichen Bestandteilen dieses Systems in (schwacher) Wechselwirkung stehen. (Für das Folgende ist es zwar noch nicht wichtig, daß die Wechselwirkungsenergie klein gegenüber den Energien der einzelnen Systembestandteile ist. Aber immer dann, wenn man die Energie des Gesamtsystems als Summe der Energien seiner Teilsysteme angibt, setzt man voraus, daß die Energie der Wechselwirkung zwischen den Teilsystemen vernachlässigt werden kann. Andererseits muß natürlich eine gewisse Wechselwirkung vorhanden sein, damit die Teilsysteme dem Zustand des thermodynamischen GGWs untereinander zustreben)

Die Basiszustände des betrachteten Teilsystems sollen mit dem Index i durchnumeriert werden, die des "Rests" mit l. Man kann sich z.B. als Basis die stationären Zustände (Energieeigenfunktionen) des jeweiligen Systems vorstellen, die man für den Fall nicht vorhandener Wechselwirkung erhalten würde.

Wenn man nun jedes System für sich betrachtet (keine Wechselwirkung, separate quantenmechanische Systeme), dann wird für jedes Teilsystem die Angabe der Entwicklungskoeffizienten der Wellenfunktion nach einer speziellen Basis ausreichen, um den quantenmechanischen Zustand vollständig anzugeben.

Sobald jedoch die beiden Systeme miteinander in Wechselwirkung stehen, bedeutet eine vollständige quantenmechanische Beschreibung nicht, daß man für jedes Teilsystem separat die Amplituden seiner Basiszustände angibt. (Wenn beide Teilsysteme N Zustände hätten, dann wären das komplexe Zahlen) Es ist vielmehr so, daß man jedem Zustand des Gesamtsystems, gegeben als Kombination von Zuständen der Teilsysteme, eine komplexe Amplitude zuordnen muß ( komplexe Zahlen). Diese Amplituden werden im folgenden als bezeichnet. Die Matrixelemente eines Operators bezüglich dieser Basis des Gesamtsystems müssen dann in der Form

gegeben sein.

"Gemischte Zustände" werden dann bedeutsam, wenn man Operatoren betrachtet, die sich nur auf das Teilsystem separat beziehen. Es stellt sich nämlich heraus, daß man zur Berechnung der Erwartungswerte solcher Operatoren und auch zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Eigenwerte nicht die vollständige Information über den quantenmechanischen Zustand des Gesamtsystems (enthalten in den ) benötigt.

Ein Operator, der sich nur auf das Teilsystem bezieht, hat die Eigenschaft, daß er die Zustände des "restlichen" Systems unverändert läßt:

Der Erwartungswert von bezüglich des Gesamtzustandes ist:

Mit Hilfe der speziellen Eigenschaft von , nicht auf die Zustände des "restlichen Systems" zu wirken, erhält man:

Die Summation über ist hierbei unabhängig von den Matrixelementen des Operators . Deshalb kann man folgende Definition einführen:

(Die Reihenfolge von ist rechts und links verschieden!)

Damit nimmt der Erwartungswert von diese Form an:

Die Summe über die Zustände des restlichen Teilsystems ist somit in das Gebilde verlagert worden. Man bezeichnet als "Dichtematrix" des Teilsystems. Sie stellt die Beschreibung eines gemischten Zustandes dar.

Weil die Gesamtheit der Entwicklungskoeffizienten normiert ist

ergibt sich für die Dichtematrix die Eigenschaft:

(mit als Bezeichnung für die Spur der Matrix, also die Summe der Diagonalelemente)

Man kann den Erwartungswert in einer noch kürzeren Form angeben, wenn man benutzt, daß die Berechnung eines Matrizenproduktes so aussieht:

Damit kann man nämlich

als Diagonalelemente einer Matrix B auffassen, die als Produkt der Dichtematrix mit der Matrix zum Operator zustande gekommen ist. Die im oben angegebenen Erwartungswert von zusätzlich vorkommende Summe über ist dann zu interpretieren als Bildung der Spur von B:

Man kann also schreiben:

Der Erwartungswert eines Operators, der sich nur auf ein Teilsystem eines größeren Systems bezieht, kann berechnet werden, wenn man die Dichtematrix des Teilsystems kennt.

Die Spur einer Matrix hängt nicht von der speziellen Wahl der Orthogonalbasis ab, in der man sie darstellt. Somit sieht man an dieser Form der Darstellung noch einmal, daß die Definition von basisunabhängig ist.

Zum Vergleich: Die Dichtematrix für reine Zustände

Dann, wenn die Amplituden als Produkt aus Amplituden für die einzelnen Teilsysteme geschrieben werden können, ergibt sich für die Dichtematrix die Form, die sie für einen sogenannten reinen Zustand hat:

(...denn die Summe über ergibt 1, wegen der Normierungsbedingung an die Amplituden )

Analog zur Dichtematrix für reine Zustände gilt für die Wahrscheinlichkeit, bei einer "Messung" den Zustand i zu finden (zu dem der Eigenwert von gehört):

Natürlich ergibt die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten 1, also gilt

Wenn man nicht in der Basis der Eigenfunktionen zu arbeitet, dann läßt sich die Wahrscheinlichkeit formal als

darstellen. (Zur genauen Definition des darin auftauchenden Delta-Operators siehe die Seite über die reinen Zustände)

Die Berechnung von Erwartungswerten und Wahrscheinlichkeiten verläuft also im Dichtematrixformalismus immer in gleicher Weise, egal ob es sich um einen reinen oder einen gemischten Zustand handelt.

Während aber die Dichtematrix eines reinen Zustandes immer in der Form

geschrieben werden kann (mit den Entwicklungskoeffizienten ), ist das für einen gemischten Zustand i.allg. nicht der Fall (man kann einen gemischten Zustand nicht als reinen Zustand mit passend gewählten Koeffizienten auffassen).

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