ZUSTANDSDICHTE EINES FREIEN TEILCHENS

Für ein Elektron im eindimensionalen Kasten der Länge L findet man in der Quantenmechanik die Eigenfunktionen

mit den Eigenwerten .

Meist betrachtet man jedoch bei solchen Problemen periodische Randbedingungen, d.h. es soll für die Wellenfunktion gelten . Dann sind die Eigenfunktionen gegeben durch

mit den Eigenwerten .

Diese Eigenwerte sind (bis auf n=0) zweifach entartet. Im Grenzfall einer großen Kastenlänge und vieler Teilchen kann man zur Beschreibung durch die Zustandsdichte übergehen. Die Zustandsdichten für periodische und nichtperiodische Randbedingungen sind gleich, so daß man von vornherein (jedenfalls im Hinblick auf die Zustandsdichte) mit periodischen Randbedingungen arbeiten kann, die rechnerisch bequemer sind.

Im Dreidimensionalen sind die Eigenfunktionen

Die erlaubten Werte des Wellenvektors lauten also

Um die Zustandsdichte zu berechnen, benutzt man, daß im -Raum zu jedem erlaubten Wert des Wellenvektors ein Volumen gehört. Man kann also die Zahl der Zustände mit näherungsweise ausrechnen, indem man das Volumen der zugehörigen Kugel im -Raum durch dieses ''Volumen eines Zustandes'' dividiert:

Natürlich ist diese Näherung nur dann sinnvoll, wenn eine genügend große Zahl von Zuständen im Kugelvolumen ist: Die Beschreibung der wenigen energetisch tiefliegenden Zustände durch eine kontinuierliche Zustandsdichte ist nicht ausreichend, wenn es wesentlich auf die Verteilung über diese Zustände ankommt.

Wenn man die Dispersionsrelation kennt, kann man damit auf , d.h. die Zahl der Zustände mit Energien , umrechnen:

Die Zustandsdichte erhält man dann durch Differentiation, denn gibt die Anzahl der Zustände pro Energieintervall an:

Zum Beispiel erhält man für ein freies Elektron in einem Kasten des Volumens mit periodischen Randbedingungen:

Also folgt

Im Falle eines Elektrons gibt es pro -Wert noch zwei verschiedene Spineinstellungen, so daß die Zustandsdichte für freie Elektronen (beider Spinrichtungen) im Dreidimensionalen tatsächlich das Doppelte beträgt:

Wichtig ist, daß die Zustandsdichte des freien Elektrons im Dreidimensionalen mit steigt. Der Exponent der Zustandsdichte hängt sowohl von der Dimension ab (weil das Volumen der Kugel im k-Raum mit geht), wie auch von der Dispersionsrelation. In der folgenden Tabelle ist der Verlauf der Zustandsdichte für verschiedene Dimensionen und Abhängigkeiten der Energie vom Wellenvektor angegeben.

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